将函数f(x)=14x^2展开成x的幂级数并指出展开式成立的区间_休闲娱乐

将函数f(x)=14x^2展开成x的幂级数并指出展开式成立的区间

创始人

2025-03-07 03:38:26

将函数f(x)=14x^2展开成x的幂级数并指出展开式成立的区间

这道题这有两个可能：
可能性之一：抄错题，或者出错题；
可能性之二：题目没有错，只是教师用来测试学生对幂级数的最最基本的理解。

这道题的答案是：
14x²，收敛区间（-∞， +∞）。

解释：
1、任何代数式的多项式，只要已经用二项式方法展开后，
它们本身就已经是幂级数 = power series；
也就是说，它们已经是麦克劳林级数 = Mclaurin's series。

例如：
56x⁴¹ + 78x³² + 89x²¹ + 90x⁴ - 91x³ - 92x² + 93x + 94
这样的代数多项式 = algebraic polynomial，本身就是麦克劳林幂级数。
无需计算，无需多此一举去计算，它就是幂级数的最后答案。

56(x-1)⁴¹ + 78(x-1)³² + 89(x-1)²¹ + 90(x-1)⁴ - 91(x-1)³ - 92(x-1)² + 93(x-1) + 94
这样的代数多项式，本身就是泰勒级数。
若想得到麦克劳林级数，则必须展开。若想得到泰勒级数，就不必展开。

但是，
A、国内的教学会刻意将麦克劳林级数跟泰勒级数混为一谈；
B、按照国内教师的搅局解释，他们又不愿用他们的搅局逻辑将
麦克劳林级数、泰勒级数、洛朗级数整合为一体！
（在整个中国微积分的教学中，充满太多搅局谬论，数不胜数）

2、如果按照麦克劳林幂级数的定义，本题的最后结果依然是：

14x²，收敛区间（-∞， +∞）。

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