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狄利克雷函数的绝对值可积吗?

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2025-04-14 19:12:21

狄利克雷函数的绝对值可积吗?

狄利克雷函数不可积，因为每个点都不连续，不连续的点的个数大于有理数的个数。

狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的，所以狄利克雷函数(类似的)不可积。

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。

狄利克雷条件括三方面：

（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点。

（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。

（3）在一周期内，信号是绝对可积的。

傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

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