一道数学难题（英文）
创始人
2025-07-14 17:11:09
一道数学难题（英文）
谁出的，是英语还是数学
（简称两人为A与N）定义函数f(n)如下：
游戏的起始数为n时，若A必胜，则f(n)=0，若N必胜，则f(n)=1。
于是容易发现，f 满足如下规律：f(n) = (1-f(n-1))(1-f([n/2]))，其中[n/2]是n/2的整数部分。这是因为从n开始时，N能获胜当且仅当n-1与[n/2]都是先手的必胜局，否则A可选择留给N的起始数为n-1或[n/2]，使先手必败。
于是我们先证明f(2n+1)=0，即起始数为奇数时，A必胜。n=0时显然成立。对一般的n，如果f(2n+1)=1，则
f(2n+1) = (1-f(n))(1-f(2n)) = 1 => f(n) = f(2n) = 0
f(2n) = (1-f(n))(1-f(2n-1)) = 1-f(2n-1) = 0 => f(2n-1) = 1
=> …… => f(1) = 1
矛盾。
那么，对于偶数n，设n=m*2^d，其中m是奇数。则
f(n) = (1-f(m*2^{d-1}))(1-f(m*(2^d - 1))) = 1-f(m*2^{d-1})
即，当n是偶数时，对于以n与n/2开始的游戏，A的胜负情况恰好相反。于是，当d是奇数的时候，A必败；反之A必胜。
于是：1000=125*2^3 => A必败，2000=125*2^4 => A必胜。
此外，当n->∝时，N获胜的概率为：
lim_{n->∝}1/n{[n/2] - [n/4] + [n/8] - ... - (-1)^d[n/2^d] - ...} = 1/3
这题很无聊啊，又是什么竞赛的题吧，那些老头老太太就会胡闹！
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（简称两人为A与N）定义函数f(n)如下：
游戏的起始数为n时，若A必胜，则f(n)=0，若N必胜，则f(n)=1。
于是容易发现，f 满足如下规律：f(n) = (1-f(n-1))(1-f([n/2]))，其中[n/2]是n/2的整数部分。这是因为从n开始时，N能获胜当且仅当n-1与[n/2]都是先手的必胜局，否则A可选择留给N的起始数为n-1或[n/2]，使先手必败。
于是我们先证明f(2n+1)=0，即起始数为奇数时，A必胜。n=0时显然成立。对一般的n，如果f(2n+1)=1，则
f(2n+1) = (1-f(n))(1-f(2n)) = 1 => f(n) = f(2n) = 0
f(2n) = (1-f(n))(1-f(2n-1)) = 1-f(2n-1) = 0 => f(2n-1) = 1
=> …… => f(1) = 1
矛盾。
那么，对于偶数n，设n=m*2^d，其中m是奇数。则
f(n) = (1-f(m*2^{d-1}))(1-f(m*(2^d - 1))) = 1-f(m*2^{d-1})
即，当n是偶数时，对于以n与n/2开始的游戏，A的胜负情况恰好相反。于是，当d是奇数的时候，A必败；反之A必胜。
于是：1000=125*2^3 => A必败，2000=125*2^4 => A必胜。
此外，当n->∝时，N获胜的概率为：
lim_{n->∝}1/n{[n/2] - [n/4] + [n/8] - ... - (-1)^d[n/2^d] - ...} = 1/3
这题很无聊啊，又是什么竞赛的题吧，那些老头老太太就会胡闹！
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