导语：量子力学是科学探索中的重要话题，本文将为您详细介绍相关知识点，内容丰富、结构清晰，适合日常学习。本文发布于2026年05月06日。

量子力学（quantum mechanics）是物理學的分支學科。它描述原子尺度及原子尺度以下的自然行為。 它是所有量子物理學的基礎，包括量子化學、量子場論、量子技術、和量子信息科学。

量子力学与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。

量子理论的重要应用包括宇宙學、量子化学、量子光学、量子计算、超导磁体、发光二极管、激光器、晶体管和半导体如微处理器等。

愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。

量子力學逐漸從理論中興起，用來解釋與經典物理學不相符的觀測結果，例如馬克斯·普朗克在1900年解決黑體輻射問題，以及阿爾伯特·愛因斯坦1905年論文中能量與頻率的對應關係，該論文解釋了光电效应影響。 這些理解微觀現象的早期嘗試，現在被稱為“舊量子論”，導致尼爾斯·玻爾、歐文·薛定諤、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩、保羅·狄拉克等人在1920年代中期全面發展了量子力學。 現代理論是用各種專門發展的數學形式體系來表達的。 其中之一，稱為波函數的數學實體以機率幅的形式提供有關粒子能量、動量和其他物理特性的測量結果的資訊。

关键现象、歷史背景

黑体辐射

理想黑体可以吸收所有照射到它表面的電磁辐射，并将这些辐射转化为热辐射，其光谱特征仅与该黑体的温度有关，與黑體的材質無關。从古典物理学出发推導出的維恩定律在低頻區域與實驗數據不相符，而在高頻區域，从古典物理学的能量均分定理推導出瑞利-金斯定律又與實驗數據不相符，在辐射频率趋向无穷大时，能量也會變得無窮大，這結果被称作“紫外灾变”。然而在那時，普朗克並未注意到紫外灾变的嚴重性。

1900年12月14日，後來被定為量子力學的誕辰，马克斯·普朗克在柏林科學院發表報告，通過將維恩定律加以改良，又將波茲曼熵公式重新詮釋，他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射，但是在诠释这个公式时，他将在物体裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子谐振子，且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，是离散的數值，而且單獨量子谐振子吸收和發射的辐射能是量子化的。

光电效应

海因里希·赫兹於1887年实验发现，如果照射紫外光於金属表面，則电子會從金属表面被發射出来，他因此發現了光電效應。1905年，阿爾伯特·爱因斯坦提出了光量子的理论来解释这个现象。他認為，光束是由一群離散的光量子所組成，而不是連續性波動。這些光量子現今被稱為光子，其能量${\displaystyle E}$为

这裡，${\displaystyle \nu }$ 是頻率，${\displaystyle h}$ 為普朗克常數。

爱因斯坦大胆地预言，假若光子的频率高于金属的极限频率，则这光子可以给予足够能量来使得金属表面的一个电子逃逸，造成光电效应。电子获得的能量中，一部分被用来将金属中的电子射出，这部分能量叫逸出功，（用${\displaystyle E_{\mbox{w}}}$表示），另一部分成為了逃逸电子的動能：

这裡 ${\displaystyle m}$ 是电子的质量，${\displaystyle v}$ 是其速度。

假若光的频率低於金屬的極限頻率，那么它无法使得电子获得足够的逸出功。这时，不论輻照度有多大，照射時間有多長，都不會發生光電效應。而当入射光的頻率高於極限頻率時，即使光不夠強，當它射到金屬表面時也會觀察到光電子發射。羅伯特·密立根後來的實驗證明這些理論與預言屬實。

爱因斯坦將普朗克的量子理论加以延伸擴展，他提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。

原子结构

20世纪初，卢瑟福模型被公认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。

但是这个模型有两个问题无法解决。首先，按照經典电磁学，这个模型不稳定，由於电子不断地在它的运转过程中被加速，它应该會通过發射电磁波丧失能量，这样它很快就会坠入原子核。其次，实验结果显示，原子的发射光谱是由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱是由一个紫外线系列（來曼系）、一个可见光系列（巴耳麥系）和其它的红外线系列组成；而按照經典理论原子的发射谱应该是连续的。

1913年，尼尔斯·玻尔提出了玻尔模型，这个模型引入量子化的概念來解釋原子结构和光谱线。玻尔认为，电子只能在对应某些特定能量值${\displaystyle E_{n}}$的轨道上运動。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道（${\displaystyle E_{n}}$），躍遷到一个能量比较低的轨道（${\displaystyle E_{m}}$）上时，它发射的光的频率为

反之，通过吸收同样频率的光子，电子可以从低能的轨道，躍遷到高能的轨道上。

玻尔模型可以解释氢原子的结构。改善的玻尔模型，还可以解释類氫原子的結構，即 He, Li, Be 等。但它还不够完善，仍然无法准确地解释其它原子的物理现象。

物质波

1924年，路易·德布罗意發表博士論文提出，粒子拥有波动性，其波长${\displaystyle \lambda _{Broglie}}$与动量${\displaystyle p}$成反比，以方程式表示為

這理論稱為德布羅意假說，又稱為物質波假說。這意味著電子不但具有粒子性，還具有波動性。

1927年，克林顿·戴维森與雷斯特·革末做實驗將低能量電子入射於鎳晶體，然後測量對於每一個角度的散射強度。從分析實驗數據，他們發現，假設加速電勢為5.4eV，則在50°之處會出現強勁反射，符合威廉·布拉格於1913年所提出的 X射線繞射性質。這驚人的結果證實電子是一種物質波，也證實了物質波假說。這實驗就是著名的戴維森－革末實驗。

电子的双缝实验可以非常生动地展示出多种不同的量子力学现象。如右图所示，

• 打在屏幕上的电子是点状的，这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。
• 电子打在屏幕上的位置，有一定的分布概率，随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话，所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。

在图中的实验裡，电子源的强度非常低，所發射出的電子與電子之間的距離約為150km，任意兩個電子同時存在於電子發射器與探測屏之間的概率微乎其微。显然可以推斷，單獨电子同时通过了两條狹缝，自己與自己發生干涉，从而出現这个干涉圖樣。对于經典物理学来说，这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看，电子的分布概率可以用两个分別通过两條狹縫的量子态疊加在一起來解釋。这个实验非常具有信服力地展示出電子的波動性。

数学基础

在二十世紀二十年代，出现了两种量子物理的理论，即维尔纳·海森堡的矩阵力学和埃尔温·薛定谔的波动力学。

海森堡主張，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量（可觀察量），才具有物理意義，才可以用理論描述其物理行為，例如，不能直接觀察到電子運動於原子裏的位置與週期。因此，他著重於研究電子躍遷時所發射光波的離散頻率和輻照度，這些是可觀察量。但是，他無法實際應用這點子於氫原子問題，因為這問題太過複雜，他只能改應用這點子於比較簡單，但也比較不實際的問題。經過一番努力，他計算出諧振子問題的能譜與零點能量，符合分子光譜學的結果。另外，在海森堡理論中，系統的哈密頓量是位置和動量的函數，但它們不再具有古典力學中的定義，而是由二階（代表著過程的初態和終態）傅立葉係數的矩陣給出。海森堡還發現，這些矩陣互不對易。這些論述後來發展成為矩陣力學。

從德布羅意論文的相對論性理論，薛定谔推導出一種波動方程式，稱為薛定谔方程式；用這方程式可以計算出氫原子的譜線，得到與波耳模型完全相同的答案。波动力学的基礎方程式就是薛定谔方程式

薛定谔率先於1926年证明了这两种理论的等价性。稍后，卡爾·埃卡特（英语：Carl Eckart）和沃爾夫岡·包立也给出類似证明，约翰·冯·诺伊曼严格地证明了波动力学和矩阵力学的等价性。

基礎公設

整個量子力学的数学理论可以建立於五个基礎公設(postulate)。這些公設不能被嚴格推導出來，而是從實驗結果仔細分析归纳总结而得到的。從這五個公設，可以推導出整個量子力學。假若量子力學的理論結果不符合實驗結果，則必須將這些基礎公設加以修改，直到沒有任何不符合之處。至今為止，量子力學已被實驗核對至極高準確度，還沒有找到任何與理論不符合的實驗結果，雖然有些理論很難直覺地用經典物理的概念來理解，例如，波粒二象性、量子糾纏等等。