利用图形的凹凸性，证明不等式。大学高数，求解
创始人
2025-01-29 22:34:38
利用图形的凹凸性，证明不等式。大学高数，求解
用高中数学知识中的函数单调性也可以解决。
构造函数f(x)=1+x㏑[x+√(1+x²)]-√(1+x²)，
则求导(略)，易得
f′(x)=㏑[x+√(1+x²)].
显然，x>0时，x+√(1+x²)>1，
故f′(x)>0，即f(x)单调递增，
∴x>0时，f(x)>f(0)=0，
∴1+x㏑[x+√(1+x²)]-√(1+x²)>0，
即1+x㏑[x+√(1+x²)]>√(1+x²)，
故原不等式得证。
用高中数学知识中的函数单调性也可以解决。
构造函数f(x)=1+x㏑[x+√(1+x²)]-√(1+x²)，
则求导(略)，易得
f′(x)=㏑[x+√(1+x²)].
显然，x>0时，x+√(1+x²)>1，
故f′(x)>0，即f(x)单调递增，
∴x>0时，f(x)>f(0)=0，
∴1+x㏑[x+√(1+x²)]-√(1+x²)>0，
即1+x㏑[x+√(1+x²)]>√(1+x²)，
故原不等式得证。
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