全国中小学生数学竞赛
创始人
2025-07-05 22:41:44
全国中小学生数学竞赛已知正整数a,b,c满足a+b+c=32(a+b-c/ab)+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc)=1/4问√a,√b,√c是否能够构成三角形?如果能,请求出最大角.今天上午的卷子......我承认我数学很水......会做的帮个忙，谢谢。
1）能构成三角形。
可以用反证法： 若不能够成三角形，不妨设 √a > √b + √c, 则:
a > b + c + 2√b √c <=> a-b-c > 2√b √c <=> (a-b-c)^2 > 4bc
<=> a^2 + b^2 + c^2 - 2ac - 2ab -2bc > 0
<=> (-ac-bc+c^2) + (-ab-bc+b^2) + (-ba-ca-a^2) > 0
<=> (a+b-c/ab)+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc) < 0.
这与本题第二式矛盾，所以原命题成立。
2）下面解角度。不妨假设 √a 对应的角 A 最大，那么，
(2√b √c) cos(A) = (b + c - a) <=> (b + c - a)^2 = 4 b c cos^2(A)
由第二式， 可以得到
(b+c-a)^2 - 4bc = - abc/4 <=> 4 b c sin^2(A) = abc/4 <=> sin^2(A) = a/16 <= 1
所以， a 最大为 16。
因为 b+c-a = b+c+a-2a = 32-2a >=0, cos(A)=(b + c - a)/(2√b √c) >=0,
A 最大为 90 度。 此最大值在 a=16, b=c=8 时达到。
1）能构成三角形。
可以用反证法： 若不能够成三角形，不妨设 √a > √b + √c, 则:
a > b + c + 2√b √c <=> a-b-c > 2√b √c <=> (a-b-c)^2 > 4bc
<=> a^2 + b^2 + c^2 - 2ac - 2ab -2bc > 0
<=> (-ac-bc+c^2) + (-ab-bc+b^2) + (-ba-ca-a^2) > 0
<=> (a+b-c/ab)+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc) < 0.
这与本题第二式矛盾，所以原命题成立。
2）下面解角度。不妨假设 √a 对应的角 A 最大，那么，
(2√b √c) cos(A) = (b + c - a) <=> (b + c - a)^2 = 4 b c cos^2(A)
由第二式， 可以得到
(b+c-a)^2 - 4bc = - abc/4 <=> 4 b c sin^2(A) = abc/4 <=> sin^2(A) = a/16 <= 1
所以， a 最大为 16。
因为 b+c-a = b+c+a-2a = 32-2a >=0, cos(A)=(b + c - a)/(2√b √c) >=0,
A 最大为 90 度。 此最大值在 a=16, b=c=8 时达到。
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